Álgebra Linear

Unidade Curricular / Curricular Unit
Álgebra Linear

Ciclo de Estudos / Study Cycle
1º Ciclo Informática de Gestão

Nome do Docente Responsável
Teresa Maria Catanho da Silva Almada

Nome do Docente Adicional

Objectivos de aprendizagem (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes)
Conhecer a estrutura de espaço vectorial. Conhecer o conceito de aplicação linear e as suas propriedades. Saber operar em espaços de matrizes. Conhecer a teoria dos determinantes e aplicá-la na resolução de problemas. Reconhecer a importância da diagonalização de matrizes.
Esta unidade curricular confere competências que permitem usar os conhecimentos adquiridos para definir a melhor estratégia na resolução de problemas. O estudante desenvolve competências de raciocínio analógico e dedutivo. Adquire ainda capacidade para lidar com várias caracterizações de vários conceitos e ainda competência para seleccionar a informação mais adequada a cada situação.

Learning outcomes of the curricular unit

To understand to structure of vector space. To understand the concept of linear map and its properties. To operate inside matrix spaces. To be familiar with the theory of determinants and to apply it in the resolution of problems. To recognize the importance of matrix diagonalization.
This curricular unit provides competences which allow using previously acquired knowledge towards a better definition of strategy when solving problems. The student will develop deductive and analytical reasoning related competences. The student will further develop the capacity to deal with the several characterizations of a given concept and the competence to select the appropriate information in each situation.

Conteúdos programáticos
1.Conteúdos programáticos (1000 caracteres disponíveis): Breve apresentação do corpo dos Reais     
2. Espaços vectoriais reais       
2.1. Subespaços vectoriais
2.2. Teorema de Steinitz e suas consequências
3. Aplicações lineares       
3.1. Aplicaçõs lineares sobrejectivas
3.2. Aplicaçõs lineares injectivas               
3.3. Isomosfismos
4. Matrizes reais            
4.1. Espaços vectoriais de matrizes          
4.2. Produto de Matrizes
5. Sistemas de Equações lineares.
5.1. Estudo de sistemas de equações lineares              
5.2. Resolução de sistemas de equações lineares  
5.3. Representação de subespaços vectoriais através de sistemas de equações lineares              
6. Determinantes            
6.1. Propriedades dos determinantes                      
7. Valores e vectores próprios
7.1 Generalidades. Polinómio característico de uma matriz.
7.2 Diagonalização de matrize

Syllabus
1.Brief introduction of the field of real numbers  
2. Real vector spaces      
2.1. Subspaces
2.2. Steinitz theorem and its consequences
3. Linear maps       
3.1. Surjective linear maps
3.2. Injective linear maps               
3.3. Isomorphisms
4.  Real Matrices            
4.1. Matrix vector spaces          
4.2. Product of matrices
5.  Systems of linear equations
5.1. Study of systems of linear equations              
5.2. Resolution of systems of linear equations  
5.3. Representation  of subspaces through systems of linear equations             
6. Determinants            
6.1. Properties of  determinants                      
7. Eigen values and eigen vectors
7.1 Generalities. Characteristic polynomial of a matrix.
7.2 Diagonalization of matrices</spa

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objectivos da unidade curricular
É clara a coerência entre os conteúdos programáticos e os objectivos da unidade curricular. Para que se possa operar com espaços e subespaços vectoriais é necessário que se conheça esta estrutura e as suas caracterizações. O Teorema de Seitnitz permite definir dimensão de um espaço vectorial finitamente gerado e o conhecimento da dimensão reduz significativamente o trabalho na resolução de vários problemas. O cálculo matricial permite trabalhar com eficiência as aplicações lineares e o estudo de sistemas de equações lineares. A teoria dos determinantes tem aplicações no cálculo da inversa de uma matriz e na resolução de sistemas de Cramer. A diagonilazação de matrizes é da maior importância no estudo de equações diferenciais que o aluno fará posteriormente.

Demonstration of the syllabus coherence with the Curricular Unit’s objectives
The coherence between syllabus with the curricular unit´s objectives is clear. To operate with vector spaces and subspaces it is necessary to understand this structure and its characterizations. Steinitz theorem allows one to define dimension of a given finitely generated vector space and knowing its dimension will significantly simplify the resolution of problems inside a given vector space. Matrix calculus allows to work efficiently with linear maps and enables the study of systems of linear maps. The theory of determinants may be applied in determining the inverse of a matrix and in the resolution of Cramer systems. Diagonalization of matrices is of great importance in the study of differential equations that the student will later pursue.

Metodologias de ensino (avaliação incluída)
A exposição da matéria é efectuada apelando à participação activa dos alunos. São apresentados exemplos concretos e os alunos são convidados a analisarem os conceitos envolvidos nos exemplos, surgindo, de  modo natural, as definições e respectivas proposições. São apresentados exemplos e contra-exemplos ilustrativos quer dos conceitos quer dos resultados.
Nas aulas teórica-práticas, os alunos são convidados a analisar e a resolver problemas envolvendo os conceitos apresentados nas aulas teóricas. Os alunos são encorajados a experimentar várias estratégias de resolução, permitindo deste modo que aluno utilize o erro de forma construtiva.
Avaliação de 1ª época: 4 mini-testes durante o período lectivo, cuja média dos 3 melhores corresponde a 40% na nota final, e uma prova escrita com a duração de 3 horas, realizada no final do semestre, correspondente a 60% da nota final.
Avaliação de 2ª época: Prova escrita com a duração de 3 horas

Planned learning outcomes, teaching methods and assessment methods and criteria
The exposition of subjects is done with the active participation of students. Some concrete examples are shown and the students are invited to analyze the concepts at stake in each example, thus appearing, in a natural way, the definitions and corresponding propositions. Illustrative counter-examples of both concepts and results are produced. Inside practical lectures the students are invited to analyze and solve problems involving the concepts shown theoretically.
Students are encouraged to experiment various resolution strategies, allowing this way that all mistakes may yield to a positive effect.
1st stage evaluation: 4 short tests during classes, the average of the top 3 will supply 40% of the final mark and a final 3 hours written test weighting 60%.
2nd stage evaluation: 3 hour written test.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objectivos de aprendizagem da unidade curricular
A metodologia utilizada obriga a participação activa do aluno em todo o processo de ensino e, claro, da aprendizagem. Permite também colmatar algumas lacunas na formação anterior designadamente no que se refere ao espírito crítico, à capacidade para formular perguntas e ainda capacidade para analisar e generalizar. Estas competências são da maior importância na formação matemática de qualquer cidadão.

Demonstration of the teaching methodologies coherence with the curricular unit’s objectives
Methodology used will force the active participation of students during all of the teaching and learning process. It also allows to mend some deficiencies brought by students from earlier stages ih what concerns critical attitude, the capacity to ask questions and to analyze and generalize. These competences are of fundamental importance in the  mathematical training of every citizen.

Bibliografia Principal / Main Bibliography
• Almada, T.; Álgebra Linear, Edições Universitárias Lusófonas, 2007.
• Pires dos Santos, J.M.; Tópicos de Álgebra Linear, J. M., AEFCUL, 1995.
• Magalhães, L. T. ; Álgebra Linear como introdução à Matemática Aplicada, Texto Editora, 2001.
• Almada, T.; Elementos de Álgebra Linear, Sebenta, Edições Universitárias Lusófonas, 2008.