Matemática I

Unidade Curricular / Curricular Unit
Matemática I

Ciclo de Estudos / Study Cycle
Engenharia Informática / Computer Engineering

Nome do Docente Responsável
João Nuno Garcia Nobre Prata

Nome do Docente Adicional
Nuno Gonçalo Rodrigues da Costa Dias

Objectivos de aprendizagem (conhecimentos, aptidões e competências a desenvolver pelos estudantes)
Os objetivos da unidade são: Conferir competências ao nível das técnicas do cálculo de funções de uma variável; dotar o aluno de conhecimentos que lhe permitam utilizar de forma criativa e em contextos diversificados as principais técnicas do cálculo.
Ao concluir a unidade curricular, o aluno deve ter adquirido os seguintes conhecimentos: Domínio dos conceitos e resultados fundamentais assim como das principais técnicas do cálculo diferencial; capacidade de proceder ao estudo de uma função real de variável real; capacidade de utilizar os métodos de primitivação; compreender e saber aplicar as noções fundamentais do cálculo integral; capacidade de calcular integrais simples e determinar áreas de domínios planos.
Pretende-se com esta unidade curricular desenvolver o raciocínio matemático, o uso e a manipulação da linguagem simbólica matemática e estimular a utilização de ferramentas do cálculo em contextos gerais.

Learning outcomes of the curricular unit
The objectives of this Curricular Unit are:
The objectives of the unit are: To confer competences concerning the calculus techniques; to provide the students with the knowledge allowing them to use creatively and in different contexts the main techniques of calculus.
Upon the course completion the student should have acquired the following knowledge and skills: Mastering the fundamental concepts and results as well as the main techniques of the differential calculus; ability to proceed to the study of a one variable function; ability to use the primitivation methods; understanding and to be able to apply the fundamental notions of the integral calculus and, in particular, the fundamental theorem of calculus; ability to compute simple integrals and areas; ability to equate and solve problems, including problems applied to a number of areas of knowledge, by using the tools acquired in the course.

Conteúdos programáticos
1. Os números reais.
Números racionais e números irracionais. Ordem e valor absoluto. Noções topológicas.
1. Funções reais de variável real
Generalidades sobre funções, coordenadas cartesianas bidimensionais. Funções polinomiais e funções racionais. Limites, continuidade. Funções trigonométricas e trigonométricas inversas. Função exponencial e função logarítmica.
2. Derivação
Derivada, interpretação geométrica. Regras de derivação. Derivação da função composta e da função inversa. Regra de L ‘Hôpital. Derivadas de ordem superior. Fórmula de Taylor, aproximação numérica da derivada.
3. Estudo global de uma função
Monotonia e extremos relativos. Concavidade e pontos de inflexão. Assíntotas. Gráficos.
4. Integração
Primitiva, primitivas imediatas. Primitivação por partes e por substituição. Primitivação de funções racionais. Integral definido. Integral indefinido, teorema fundamental do cálculo. Integrais impróprios. Aplicações da integração.

Syllabus
The real numbers
Rational and irrational numbers. Order and absolute value. Topological notions.
1. Real-valued functions of one real variable
Generalities on functions, two-dimensional Cartesian coordinates. Polynomial and rational functions. Limits, continuity. Trigonometric and inverse trigonometric functions. Exponential and logarithmic functions.
2. Derivatives
Derivative, geometric interpretation. Rules for differentiation. Differentiation of composite functions and inverse functions. The L’Hôpital rule. Higher order derivatives. Taylor’s formula, numerical approximation to the derivative.
3. Global study of a function
Monotonicity and local extrema. Concavity and inflexion points. Asymptotes. Graphs.
4. Integrals
Primitive function. Primitives by parts and by substitution. Primitives of rational functions. Definite integral. Indefinite integral, the fundamental theorem of calculus. Improper integrals. Applications.

Demonstração da coerência dos conteúdos programáticos com os objectivos da unidade curricular
Os conteúdos programáticos cobrem os principais tópicos do cálculo com funções de uma variável real, de acordo com os objetivos da unidade curricular. É dedicada uma atenção especial às aplicações geométricas e à Física. As técnicas desenvolvidas são usadas na formulação e resolução de problemas em contextos muito diversos, conferindo ao estudante a capacidade de abordar uma grande variedade de problemas usando as ferramentas do cálculo diferencial e integral com funções uma variável real.

Demonstration of the syllabus coherence with the Curricular Unit’s objectives
The syllabus covers the main topics of calculus with functions of one real variable, consistently with the curricular unit’s objectives. A particular attention is devoted to geometrical and physical applications. The developed techniques are used to equate and solve problems in a wide range of different contexts promoting the ability to address a great variety of problems using the tools of differential and integral calculus with functions of one real variable.

Metodologias de ensino (avaliação incluída)
A exposição da matéria é precedida, sempre que possível, da discussão de uma aplicação ou da interpretação e análise geométrica do tópico. O estudante é convidado a participar ativamente na aula e é envolvido na discussão dos conceitos apresentados. São expostos inúmeros exemplos ilustrativos e contra-exemplos. Sempre que possível, são discutidas aplicações, nomeadamente à geometria e à física.
Nas aulas teórico-práticas, os alunos são convidados a analisar e a resolver problemas envolvendo os conceitos apresentados nas aulas teóricas. Avaliação de 1ª época: 4 míni-testes durante o período letivo, cuja média dos 3 melhores corresponde a 40% na nota final, e uma prova escrita com a duração de 3 horas, realizada no final do semestre, correspondente a 60% da nota final.
Avaliação de 2ª época: Prova escrita com a duração de 3 horas.

Planned learning outcomes, teaching methods and assessment methods and criteria
The presentation of much of the material is preceded, if possible, by the discussion of one application or by the geometrical interpretation of the topic.
The students are invited to actively participate in the class. The presentation of many examples and counter-examples illustrates the main ideas involved. Whenever possible, applications to the resolution of problems in other fields of knowledge, like physics and geometry, are discussed.  
In the tutorial classes, students are invited to analyze and solve problems involving the concepts presented in the lectures.
1st stage evaluation: 4 short tests during classes, the average of the top 3 will supply 40% of the final mark and a final 3 hours written test weighting 60%.
2nd stage evaluation: 3 hour written test.

Demonstração da coerência das metodologias de ensino com os objectivos de aprendizagem da unidade curricular
A metodologia de ensino apela a uma participação activa e contínua do aluno na discussão de exemplos e na resolução de problemas. Esta abordagem permite que o estudante desenvolva competências na aplicação das ferramentas do cálculo à resolução de problemas concretos. O uso de inúmeros contra-exemplos permite aprofundar os conhecimentos e desenvolver o espírito crítico. A participação ativa dos estudantes nas aulas teórico-práticas contribui para melhorar as aptidões dos alunos na resolução de problemas. Também permite que o professor se aperceba, com maior clareza, das dificuldades sentidas pelos estudantes, permitindo-lhe adequar o conteúdo da aula às dificuldades sentidas pelos alunos.

Demonstration of the teaching methodologies coherence with the curricular unit’s objectives
The methodology calls for a continuous and active participation of the student. The aim is that the student develops new skills on using the tools of calculus to approach specific problems. The systematic presentation of examples and counterexamples allows a deeper understanding of the subjects and the development of critical judgment. In the tutorial classes the students are continuously involved in the discussion of specific problems. This promotes the problem solving skills. Moreover it helps the teacher to have a better understanding of the students’ difficulties allowing him/her to better adapt the class contents to the difficulties of the students.

Bibliografia Principal / Main Bibliography
– Stewart, J.; Cálculo, vol. 1, 5ª ed.; Thomson Learning; 2006.
– Simmons, G.F.; Cálculo com Geometria Analítica, vol. 1; Makron   Books; 1987.
– Apostol, T.M.; Cálculo, vol. 1, 2ª ed.; Reverté; 2004

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